《2019年研究生入学考试大纲》数学分析

《数学分析》

考试基本要求:

要求考生比较系统地理解数学分析的基本概念和基本理论，掌握数学分析的基本思想和方法。要求考生具有逻辑推理能力、运算能力、空间想象能力和综合运用所学的知识分析问题和解决问题的能力。

考试内容和要求:

一、极限理论

考试内容

数列极限和函数极限的概念和收敛的基本性质  四则运算  收敛准则  连续函数定义性质  闭区间上连续函数的性质

考试要求

1．数列极限   理解数列极限的 定义，掌握收敛数列的基本性质及数列收敛的条件，掌握极限 及其应用。

2．函数极限  理解各种类型的一元函数极限的定义（ 、语言），掌握函数极限的基本性质、归结原则和柯西收敛准则，掌握两个重要极限 ， 及其应用，熟练掌握求函数极限的各种方法，掌握无穷小量与无穷大量阶的比较。

   3．函数的连续性  理解函数连续与间断的概念及一致连续性概念。理解连续函数的局部性质。掌握有界闭集上连续函数的性质（有界性、最值性、介值性、一致连续性）。

二、一元函数微分学

考试内容

导数和微分的定义高阶导数  导数和微分的四则运算  复合函数的求导  中值定理，洛比达法则，泰勒公式  函数的几何形状

考试要求

1. 导数与微分  理解函数在某一点导数与微分的准确定义。掌握连续、可导与可微的关系。掌握导数各种形式的计算方法，掌握一阶微分形式不变性。

2．微分学基本定理及其应用  理解掌握罗尔定理，拉格朗日中值定理，柯西中值定理， 泰勒公式(Peano余项与Lagrange余项)及应用。熟练掌握洛比达法则求极限。掌握函数单调性判别法，极值、最值、曲线凹凸性讨论。

三、一元函数积分学

考试内容

定积分的定义和几何意义  不定积分和定积分的计算  微积分基本定理  变限积分反常积分  

考试要求

1．不定积分  理解原函数与不定积分概念，掌握不定积分的基本计算方法（直接积分法、换元法、分部积分法），会求简单有理函数积分。

2．定积分  理解定积分概念与几何意义，掌握定积分性质（关于区间可加性、不等式性质、绝对可积性、定积分第一中值定理）及应用。理解变上限积分函数，掌握微积分基本定理，掌握牛顿-莱布尼兹公式及定积分计算，掌握定积分第二中值定理应用。

3．广义积分  理解掌握无穷积分概念、柯西收敛准则，绝对收敛与条件收敛。掌握 非负时 的收敛性判别法（比较原则、柯西判别法）。掌握阿贝尔判别法、狄利克雷判别法。掌握无界函数广义积分概念及其收敛性判别法。

四、数项级数和函数项级数

考试内容

数项级数的收敛性判别法  绝对收敛条件收敛函数项级数一致收敛性判别法  幂级数  傅里叶级数

考试要求

1．数项级数  掌握级数及其敛散性，掌握柯西准则及收敛必要条件，理解收敛级数基本性质。掌握正项级数收敛的充要条件及比较原则、比式判别法、根式判别法以及它们的极限形式。掌握交错级数的莱布尼兹判别法，掌握一般项级数的绝对收敛、条件收敛性 ，阿贝尔判别法，狄利克雷判别法 。                          

2．函数项级数  理解函数列与函数项级数的一致性收敛性，掌握一致收敛性判别法（魏尔斯特拉斯M-判别法、阿贝尔判别法及狄利克雷判别法）及柯西收敛准则。掌握函数项级数的性质及其应用。

3．幂级数  掌握幂级数概念及收敛半径与收敛域。掌握阿贝尔定理。掌握幂级数的逐项可积性、可微性及其应用。掌握和函数及其求法。掌握函数展开成泰勒级数、麦克劳林级数 。

4． 傅里叶级数  理解三角级数、三角函数系的正交性。掌握以2 、2 为周期的周

期函数的傅里叶级数展开。掌握函数展开成正弦级数及余弦级数。理解掌握收敛性定理。

五、多元函数微分学  

考试内容

多元函数的极限  二元连续函数  偏导数  可微  高阶偏导数  拉格朗日乘子法隐函数定理

考试要求

1．偏导数与全微分  理解掌握偏导数、全微分定义及其几何意义，掌握可微与偏导存在、连续之间的关系，掌握复合函数的偏导数与全微分。掌握方向导数与梯度定义及求法，会求高阶偏导数。

2．隐函数定理与微分的应用  理解隐函数存在定理及隐函数组存在定理，掌握隐函数及隐函数（组）求导方法。掌握几何应用（平面曲线的切线与法线、空间曲线的切线与法平面、曲面的切平面与法线）。掌握极值问题研究（必要条件与二元极值的充分条件），会拉格朗日乘数法求条件极值。

六、多元函数积分学

考试内容

重积分的定义及几何意义变量代换  极坐标 球面坐标和柱面坐标  第一、二型曲线积分 第一、二型曲面积分  格林公式  高斯公式

考试要求

1．重积分  理解二重积分概念及其几何意义，掌握二重积分的计算（化为累次积分、极坐标变换、一般坐标变换）。理解三重积分概念，掌握三重积分计算（化为累次积分、柱坐标、球坐标变换）。重积分的应用（体积、曲面面积、重心等）。

2．曲线积分与曲面积分  理解第一型曲线积分、曲面积分的概念及基本性质。掌握第一型曲线积分、曲面积分计算方法。理解第二型曲线积分概念及性质，掌握第二型曲线积分计算。掌握格林公式内容及应用，理解平面曲线积分与路径无关的条件。掌握曲面的侧、理解第二型曲面积分的概念及性质，掌握第二型曲面积分计算，掌握高斯公式内容及应用。

七、含参变量积分

考试内容

含参变量积分的定义含参变量积分与函数项级数的关系  含参变量反常积分的一致收敛性  

考试要求

1．掌握含参量正常积分及其连续性、可微性、可积性，运算顺序的可交换性。

2．掌握含参量反常积分的一致收敛性及其判别法（魏尔斯特拉斯M判别法、阿贝尔判别法、狄利克雷判别法），含参量反常积分的连续性、可微性、可积性。

主要参考书目:

《数学分析》，华东师范大学数学系编， 2004年12月第3版，高等教育出版社出版