2019年天津工业大学常微分方程考研大纲公示

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《常微分方程》考试大纲
课程编号：10810094
英文课程名称：  Ordinary Differential Equation
适用专业：  应用数学、运筹学与控制

一、 课程的性质和目的
《常微分方程》课程是数学、信息与计算科学专业本科生必修的一门主干课程。《常微分方程》已成为研究自然现象的强有力工具。在力学、天文学、物理学及工程技术中，应用微分方程的理论和方法，已经取得了巨大的成就。《常微分方程》理论知识是理工科学生必备的数学专业基础知识，它在培养数学及信息与计算科学的专门人才的过程中具有重要的课程地位；本课程旨在培养学生的微分方程的基础知识与方法，并为运用微分方程解决相关的实际问题打下坚实的理论基础。

本课程主要任务为：
1． 教授求解常微分方程的常用方法；
2． 培养学生关于常微分方程的一般理论；
3． 培养学生运用常微分方程解决实际问题的能力，为后继课程的学习打下坚实的理论基础。

第一章：  绪论                                       
1．熟练掌握物理过程的数学建模；
2．熟练掌握微分方程的基本概念；
第二章：一阶微分方程的初等解法                      
1．熟练掌握变量可分离方程及可化为变量可分离方程的求解；
2．熟练掌握线性方程的概念及常数变易法的使用；
3．熟练掌握恰当方程的判定，掌握积分因子的计算；
4．熟练掌握一阶隐方程的求解及参数表示；

第三章：一阶微分方程解的存在定理                   
1．熟悉、理解解的存在唯一性定理的证明与简单应用；
2．熟悉、理解解的延拓定理的证明与简单应用；
3．理解解对初值的连续性和可微性定理的证明与简单应用；
4．熟悉、理解包络和奇解的概念，会求解可莱罗(Clairaut)方程；

第四章：高阶微分方程                                
1．熟悉齐次线性方程的解的性质与结构，熟练掌握非齐次线性方程与常数变易法；
2．熟练掌握常系数线性方程的解法与应用；
包括：常系数齐次线性方程和欧拉方程，非齐次线性方程、会用比较系数法与拉普拉斯(Laplace)变换法求解线性方程；
3．熟练掌握一些可降阶的方程的求解；

第五章：线性微分方程组                              
1． 理解线性微分方程组存在唯一性定理；
2．理解线性微分方程组的一般理论；
3．理解矩阵指数expA的定义和性质，掌握基解矩阵的计算公式；
会应用拉普拉斯变换解线性微分方程组；

第六章： 非线性微分方程和稳定性
1．会分析线性系统与简单的非线性系统的平衡点（奇点）及极限环的稳定性；
    2．会按线性近似确定微分方程组的稳定性，Lyapunov第二方法；

参考书

1．《常微分方程》（第三版），王高雄、周之铭、朱思铭、王寿松编，
高等教育出版社，2007年；
2．《常微分方程》[俄] V.I 阿诺尔德著，科学出版社，2001