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    河北工业大学2020年数学分析考试大纲
河北工业大学2020年数学分析考试大纲
责任编辑:上善若水29  作者:上善若水…  来源:网络   更新时间:2019-9-11 17:10:16
河北工业大学 2020 年硕士研究生招生考试
自命题科目考试大纲
科目代码:601
科目名称:数学分析
适用专业:数学、统计学
一、考试要求
数学分析适用于河北工业大学理学院数学和统计学专业研究生
招生专业课考试。主要考察对于数学分析基本概念、基本理论和基本
方法以及运用所学知识分析问题和解决问题的能力。
二、考试形式
试卷题型主要包括计算题、证明题等形式。考试时间为 3 小时,
总分为 150 分。
三、考试内容
(一)变量与函数
函数的概念、复合函数和反函数、基本初等函数。
(二)极限与连续
1.数列极限和无穷大量:数列极限的定义、性质、运算,单调
有界数列,无穷大量的定义、性质及运算。
2. 函数极限: 函数在一点的极限,函数极限的性质和运算,单
侧极限,函数在无穷远出的极限,函数值趋于无穷大的情形,重要极
限。
3. 连续函数: 连续的定义、连续函数的性质和运算,不连续点
的类型,闭区间上连续函数的性质。
4. 无穷大量和无穷小量的阶。
(三) 关于实数的基本定理及闭区间上连续函数性质的证明
1.关于实数基本定理:子列的概念,上(下)确界,区间套定
理,致密性定理,Cauchy收敛原理,有限覆盖定理。
2.闭区间上连续函数性质的证明:有界性定理,最大和最小值
定理,零点存在定理,反函数连续性定理,一致连续性定理。
(四) 导数与微分
1.导数的定义, 导数的几何意义和物理意义。
2. 简单函数的导数:常数函数的导数,三角函数的导数,对数
函数的导数,幂函数的导数。
3.求导法则:导数的四则运算,反函数的导数,复合函数的导
数。
4.微分及其运算:微分的定义,微分的运算法则。
5.隐函数及参数方程所表示函数的求导。
6.高阶导数与高阶微分:高阶导数的运算法则,高阶微分。
(五) 微分学的基本定理及其应用
1.中值定理:Fermat定理,Lagrange中值定理,Cauchy中值定
理。
2.Taylor公式和近似计算Taylor公式。
3.函数的单调性、极值与凸性。
4.平面曲线的曲率。
5.待定型----洛必达法则。
6.方程的近似解。
(六)不定积分
1.不定积分的概念及其运算法则。
2.不定积分的计算:换元积分法,分步积分法,有理函数积分
法。
(七)定积分
1.定积分的概念。
2.定积分存在的条件:定积分存在的充分必要条件,可积函数
类。
3.定积分的性质。
4.定积分的计算:基本公式,换元积分法,分步积分公式。
(八)定积分的应用和近似计算
1.平面图形的面积。
2.曲线的弧长。
3.体积。
4.旋转曲面的面积。
5.质心。
6.平均值、功的计算。
7.定积分的近似计算。
(九)数项级数
1.数列的上、下极限。
2.级数收敛性及其基本性质。
3.正项级数及其收敛的判别法。
4.任意项级数:绝对收敛级数,交错级数。条件收敛判别法。
5. 绝对收敛级数和条件收敛级数的性质。
6. 无穷乘积。
(十)反常(广义)积分
1.无穷限反常积分:无穷限反常积分的概念,无穷限反常积分
和数项级数的关系,无穷限反常积分收敛性判别法。
2.无界函数的反常积分:无界函数的反常积分的概念和收敛判
别法,反常积分的主值。
(十一)函数项级数、幂级数
1.函数项级数一致收敛:一致收敛的定义,性质,判别法。
2.幂级数:收敛半径,幂级数的性质和函数的幂级数展开。
3.逼近定理。
(十二)富里埃级数和富里埃变换
1.函数的富里埃级数展开:三角函数系的正交性,富里埃级数
的系数,富里埃级数的复数形式,富里埃级数的收敛性定理。
2.富里埃变换:富里埃变换的概念和性质。
(十三)多元函数的极限与连续
1.平面点集:邻域 、点列和极限,开集、闭集和区域,平面
点集的基本定理——矩形套定理、 致密性定理、有限覆盖定理、
Cauchy 收敛原理。
2.多元函数的极限与连续:多元函数的概念、二元函数的极
限、连续性,有界闭区域上连续函数的性质,二次极限和二重极限。
(十四)偏导数与全微分
1.偏导数与全微分的概念:偏导数的定义,全微分的定义,高
阶偏导数和高阶全微分。
2.求复合函数偏导数的链式法则。
3.由方程(组)所确定的函数的求导法:一个方程的情形,方
程组的情形。
4.空间曲线的切线与法平面。
5.曲面的切平面与法线。
6.方向导数和梯度。
7.多元函数的泰勒公式。
(十五)极值和条件极值
1.极值和最小二乘法。
2.条件极值。
(十六)隐函数存在定理、函数相关
1.隐函数存在定理:一个方程的情形,方程组的情形。
2.函数行列式的性质和函数相关。
(十七)含参变量的积分
含参变量积分的连续性、可微性及交换积分次序的定理。
(十八)含参变量的广义积分
1.一致收敛性的定义。
2.一致收敛积分的判别法。
3.一致收敛积分的性质。
4.阿贝尔判别法和狄立克莱判别法。
5.欧拉积分。
(十九)积分的定义和性质
1.二重积分、三重积分、第一类曲线积分、曲面积分积分的
概念 。
2.积分的性质。
(二十)重积分的计算和应用
1.二重积分的计算:化二重积分为二次积分,用极坐标计算
二重积分,二重积分的一般变量替换。
2. 三重积分的计算: 化三重积分为三次积分, 三重积分的变
量替换。
3.积分在物理上的应用----质心、矩,引力。
4.广义重积分。
(二十一)曲线积分和曲面积分的计算
1.第一类曲线积分的计算。
2.第一类曲面积分的计算:曲面积分,曲面积分的计算。
3.第二类曲线积分:物理意义,第二类曲线积分的计算,两
类曲线积分的联系。
4. 第二类曲面:曲面的侧,第二类曲面积分的定义,两类曲面
积分的联系,第二类曲面积分的计算。
(二十二)各种积分间的联系和场论初步
1.各种积分间的联系:格林(Green)公式,高斯(Gauss)公
式,斯托克斯(Stokes)公式。
2.曲线积分和路径无关的条件。
3.场论初步----场的概念,散度与旋度,保守场,Laplace算
子。
四、参考书目
[1]《数学分析》 ,主编:欧阳光中,高等教育出版社。
[2]《数学分析》 ,主编:华东师范大学数学系,高等教育出版社
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